Teoría de Conjuntos

Uno de los temas que se suele enseñar en primaria y es usado bastante en matemáticas, además de otras áreas del conocimiento como la computación, es la teoría de conjuntos; algo que quizá no muchos conocían con ese nombre, pero cuando ven el tema se acuerdan fácilmente y saben de qué se habla.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia los conjuntos, cuáles son sus propiedades, cómo se relacionan entre sí, los tipos de conjuntos que existen y muchas cosas que tienen que ver con conjuntos.

Qué es un conjunto

Comencemos por lo básico, un conjunto es una colección de objetos que comparten características entre sí; por ejemplo podemos tener el conjunto colores, en el cual estarán todos los colores que queramos, como rojo, verde, azul, blanco y negro; podemos agregar más, pero para este ejemplo solo dejaremos cinco. Lo podemos representar así: \[COLORES=\left\lbrace rojo,verde,azul,blanco,negro \right\rbrace \]

Eso es un conjunto, varios objetos o elementos agrupados; un concepto muy usado en matemáticas.

Cada objeto del conjunto se denomina elemento, de esta forma en nuestro conjunto de colores cada color es un elemento del conjunto. El primer elemento es el rojo, el segundo el verde y así sucesivamente.

Generalizando, los conjuntos se denotan por letras mayúsculas \((A,B,C,…)\) y los elementos con letras minúsculas \((a,b,c,…)\); algo así: \[A=\left\lbrace {a,b,c,d,e} \right\rbrace \] de esta forma \(A\) es un conjunto cualquiera, puede ser un conjunto de colores, frutas, electrodomésticos, etcétera. Y \(a\) es un elemento del conjunto, que puede ser el color rojo, una pera, una nevera, etcétera.

Formas de representar conjuntos

Hay tres formas de representar conjuntos, enumeración, descripción y diagramas de Venn; cada una es útil para diferentes cosas.

Enumeración

Esta forma es una de las más fáciles, consiste en escribir uno a uno cada elemento del conjunto. Tal como habíamos visto antes, con los colores o la generalización, así: \[A=\left\lbrace a,b,c,d,e \right\rbrace \]

Descripción

Consiste en dar una descripción verbal o simbólica de los elementos que componen el conjunto. Por ejemplo, yo puedo decir que mi conjunto son los números pares, de esta forma cualquiera sabrá fácilmente que mi conjunto es: \[P=\left\lbrace 2,4,6,8,10,…\right\rbrace\] pero también se puede representar lo mismo usando lenguaje matemático, de esta forma: \[P=\left\lbrace n\in N:∃m∈N|n=2m\right\rbrace\] claro que eso último es muy poco entendible para la mayoría de las personas, se debe tener un buen manejo de los símbolos matemáticos, pero no importa, tu confía en que ahí dice que es el conjunto de los numero pares.

Aunque parezca complejo, la representación por descripción es muchas veces más práctica y más usada.

Diagramas de Venn

Es una forma gráfica de representar conjuntos; fue ideada en 1880 por el matemático John Venn, esta forma solo sirve para representar uno, dos o tres conjuntos y las posibles operaciones que hay entre ellos.

En un diagrama de Venn un conjunto se representa con un círculo dentro de un rectángulo; así como se ve en la siguiente imagen:

El rectángulo representa el conjunto universal, que es todo aquello que abarca el contexto de nuestro conjunto, por ejemplo, si nuestro conjunto es de colores, dentro del rectángulo estarán todos los colores conocidos.

El círculo rojo representa el conjunto \(A\), por ello la letra arriba del círculo, si el conjunto tuviera otro nombre se pone en lugar de \(A\). Dentro del círculo se encontraran únicamente los elementos que pertenecen al conjunto \(A\).

En el área que hay entre el círculo rojo y el rectángulo estarán los elementos que hacen parte del conjunto universal, pero no del conjunto \(A\).

Veamos esto de forma más clara con un ejemplo. Tenemos el conjunto \(C\) que contiene cinco colores \[C=\left\lbrace rojo,verde,azul,blanco,negro \right\rbrace\] vamos a representar el conjunto \(C\) con sus elementos usando un diagrama de Venn; también representaremos los colores, rosado y naranja. Lo cual se vería así:

Un diagrama de Venn para dos conjuntos se vería así:

Un diagrama de Venn para tres conjuntos se vería así:

Esas son las tres formas que hay para representar conjuntos. En la práctica se usa más la enumeración y la descripción que los diagramas de Venn, pues en la mayoría de los casos estos tienen una función más didáctica.

Operaciones entre conjuntos

Cuando trabajamos con números podemos operarlos entre ellos, sumarlos, restarlos, multiplicarlos, entre otras operaciones; con conjuntos podemos hacer cosas parecidas, no exactamente las mismas operaciones, pero si algunas parecidas y otras nuevas. Algunas de las operaciones que podemos hacer entre conjuntos son:

• Unión
• intersección
• Complemento relativo
• Complemento absoluto
• Diferencia simétrica

Hay otras operaciones cómo el producto cartesiano, pero no las tratare en este artículo, en trabajos futuros profundizare sobre el tema y las explicare a profundidad.

Unión

La unión es la operación más sencilla, toma dos conjuntos y une todos sus elementos; se representa con el símbolo \(∪\).

Por ejemplo si se tienen los conjuntos \[A=\left\lbrace a,b,c\right\rbrace \] \[B=\left\lbrace d,e,f\right\rbrace \] al unirlos se obtiene: \[A∪B=\left\lbrace a,b,c,d,e,f\right\rbrace \]

Usando diagramas de Venn, la unión se representaría sombreando toda el área que abarcan ambos conjuntos; algo así:

Intecepción

La intersección es los contrario a la unión; dados dos conjuntos, esta solo toma los elementos que se encuentran en ambos conjuntos; se representa con el símbolo \(∩\).

Por ejemplo dados los conjuntos \[A=\left\lbrace a,b,c,d\right\rbrace \] \[B=\left\lbrace d,e,f\right\rbrace \] al interceptarlos se obtiene: \[A∩B=\left\lbrace a,b,c,d,e,f\right\rbrace \]

Note que la intersección A∩B solo tiene un elemento, pues es el que se encuentra en ambos conjuntos.

Usando diagramas de Venn, la intersección se representaría sombreando el área que es común a ambos conjuntos; algo así:

Complemento relativo

El complemento relativo es parecido a una resta, pues se toma dos conjuntos, al primero se le resta los elementos que haya en el segundo \(A-B\).

Por ejemplo, dados dos conjuntos \[A=\left\lbrace a,b,c,d\right\rbrace \] \[B=\left\lbrace c,d,e,f\right\rbrace \] al hacer el complemento relativo, tomamos el conjunto \(A\) y le restamos o eliminamos los elementos que estén en \(B\); obteniendo lo siguiente: \[A-B=\left\lbrace a,b\right\rbrace \]

El complemento relativo se suele representar de diferentes formas, así: \[A^´=A-B=A\backslash B \]

Usando diagramas de Venn, el complemento relativo se representa sombreando el conjunto \(A\), sin la parte que le pertenece al conjunto \(B\), así:

Complemento absoluto

Son todos los elementos de un conjunto que no pertenecen al mismo; se representa con el nombre del conjunto y una c como superíndice, de esta forma: \(A^c\).

Por ejemplo; teniendo un conjunto \(A\) cualquiera, el complemento absoluto de \(A\) será el conjunto universal menos el conjunto \(A\); así: \[A^c=U-A\]

Usando diagramas de Venn, el complemento absoluto se representa sombreando todo lo que este por fuera del conjunto \(A\).

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica de dos conjuntos tiene todos los elementos que no estén en \(A∩B\), la diferencia simétrica se representa usando el símbolo \(∆\).

Formalmente podemos definir la diferencia simétrica como: \[A∆B=(A\cup B)-(A\cap B)\]

Usando diagramas de Venn, la diferencia simétrica se representa sombreando la unión de \(A\) y \(B\), pero sin su intersección.

Cursos y enlaces de interes

A continuación dejo algunos cursos y enlaces de interés sobre la teoría de conjuntos.

• Conjuntos: Curso dictado por el profesor Bernardo Acevedo Frias donde explican los conceptos básicos de la teoría de conjuntos.
• Conjuntos: curso del canal de YouTube matemáticas profe alex, es un curso sencillo y muy interesante.
• Teoria de Conjuntos I: curso dado por el profesor Jesus Nieto Martinez, es un curso de nível universitário asi que recomiendo verlo habiendo visto un curso básico sobre el tema.