Lógica

Uno de los temas que más me llama la atención y al que más provecho le he sacado es la lógica, cuando presente algunos exámenes podía encontrar las respuestas fácilmente usando lógica matemática; incluso actualmente es algo que uso mucho para programar. Aunque debo comentar que no es lo mismo la lógica matemática y el uso que comúnmente le damos a la palabra lógica, porque es una palabra que usamos en diferentes conversaciones para expresar que algo es evidente o que tiene un razonamientos sencillo. Por ejemplo: dos amigos pueden estar hablando sobre cualquier tema y uno de ellos decir algo que no tenga mucho sentido, entonces posiblemente el otro le responderá “póngale lógica, eso no es así”. La verdad es que muchas de las cosas que pensamos usando el sentido común, no son tan comunes o tan “lógicas”; esa idea me gusta como la expresa Eduardo Sáenz de Cabezón en su conferencia las matemáticas son para siempre

“Las matemáticas doman la intuición, doman la creatividad. A casi todo el mundo que no lo ha oído antes le sorprende que si uno cogiera una hoja de papel de 0.1 mm de grosor, esas que utilizamos normalmente, lo suficientemente grande y la pudiera doblar cincuenta veces, el grosor de ese montón, ocuparía la distancia de la tierra al sol”.

La anterior cuestión ha sido calculada por diferentes personas; se puede ver una demostración en el artículo Exponencial growth.

Entonces muchas de las cosas que consideramos con el sentido común, no son tan comunes y posiblemente son falsas, esto cobra mucha importancia en las matemáticas, pues ¿cómo sabemos si lo que dice una persona es cierto o falso? ¿Cómo sabemos que un teorema es real y no desvaríos de un matemático loco? Ahí es donde entra la lógica, como una forma de estudiar el razonamiento y saber si lo que se dice sobre un tema es verdadero o falso.

La lógica es un campo de estudio muy amplio con muchas ramas como la lógica filosófica, la lógica matemática, la lógica computacional, entre muchas otras, por lo cual solamente hablare de los temas más básicos; comenzando por la lógica proposicional.

Logica proposicional

También llamada lógica de orden cero o calculo proposicional, esta es la parte más básica de la lógica; aunque tienen un nombre un poco ostentoso o raro, es realmente muy sencillo, pues son las bases de todo lo demás. En la lógica proposicional se estudian las proposiciones y los conectores lógicos.

Proposición

Una proposición es un enunciado que puede tomar un valor de verdad; ósea que puede ser verdadero o falso. Por ejemplo, si yo digo “el cielo es azul” esa proposición es verdadera porque el cielo acá en la tierra tal como lo pueden ver los ojos del ser humano es azul; ahora si yo digo “el pato tiene 4 patas” es una proposición falsa porque un pato solo tiene dos patas; ósea piernas (hablamos de los pies o extremidades inferiores, no de si el pato es polígamo y tiene muchas patas).

Cabe aclarar que expresiones como ¡dios mío!, o preguntas como ¿el auto esta encendido?, no son proposiciones.

Las proposiciones pueden ser simples (también llamadas atómicas) o compuestas (también llamadas moleculares); una proposición simple es aquella que no se puede descomponer más, cómo “el cielo es azul”. Por otro lado una proposición compuesta es aquella que está compuesta por varias proposiciones; por ejemplo: “el cielo es azul y el pato tiene dos patas”, esta es una proposición verdadera que está compuesta de dos proposiciones simples.

Las personas que estudian lógica se la pasan viendo si las proposiciones son verdaderos, cómo se pueden combinar, los resultados que salen de combinar proposiciones y si al hacer eso se tuviera que escribir todo el tiempo “el cielo es azul” entonces todo sería muy aburrido, por ello las proposiciones se suelen representar con letras como \(p,q,r,s,t…\) así como se ve a continuación: \[p= el \, cielo \, es \, azul\] \[q= el \, pato \, tiene \, dos \, patas\] De esta forma cada vez que vea la \(p\) y sabré que estoy hablando de la proposición “el cielo es azul”.

Tablas de verdad

Las tablas de verdad son una herramienta muy usada en la lógica pues permiten representar los posibles valores de las proposiciones. De esta forma si yo tengo una proposición \(p\) y no sé cuál proposición es, solo sé que es una proposición cualquiera, puedo usar una tabla para ver los posibles valores de \(p\); dando como resultado que p debe ser verdadera (V) o falsa (F).

Pero uno no trabaja solamente con una proposición, uno trabaja con varias, ya sean dos, tres, cuatro o muchas más. Estas proposiciones también se pueden poner en tablas para saber los valores de verdad y ver todas las posibles combinaciones, como vemos a continuación:

Se puede ven una tabla con dos proposiciones, sus valores de verdad, y todas las posibles combinaciones. Te invito a que intentes este ejercicio, pero usando tres proposiciones.

Negación

Las proposiciones también se pueden negar, esto quiere decir que si tenemos la proposición “el cielo es azul”, negarla será como decir “el cielo no es azul”; pero si tuviésemos otra proposición como “el pato no tiene cuatro patas” al negarla estaríamos diciendo “el pato tiene cuatro patas”; ósea siempre que negamos una proposición enviamos el mensaje contrario del que tenía inicialmente. Recordemos que las proposiciones se representan con letras minúsculas como \(p\), de la misma forma la negación se representa con el símbolo \(\neg \). Simbólicamente cuando queremos negar una proposición lo haríamos poniendo el símbolo de negación seguido de la proposición que queremos negar, así: \(\neg p\).

Con una negación también se puede hacer una tabla de verdad, obteniendo como resultado lo siguiente:

Conectores lógicos

Un conector lógico es usado para construir proposiciones compuestas. Anteriormente habíamos hablado que las proposiciones pueden ser simples o compuestas; una proposición simple puede ser “el cielo es azul” o también “el pato tiene dos patas”. Por otro lado una proposición compuesta seria “el cielo es azul y el pato tiene dos patas” en este ejemplo la proposición compuesta se compone de dos proposiciones simples, estas proposiciones están unidas por la letra y; esa letra es un conector lógico. Existen cuatro conectores lógicos:

Aunque tiene nombres un poco raros o intimidantes, realmente son muy fáciles de aprender. Una forma de recordarlos es que cada conector lógico se asocia a una letra o palabra y cada conector tiene un símbolo asociado, algo así:

Si es tu primera vez viendo algo de lógica posiblemente no entiendas aun cada conector y tengas un poco de susto, pero no te preocupes, los voy a explicar cada uno al detalle, son muy fáciles de aprender.

Conjunción

Supón que vas a ir a una fiesta con dos amigos; tenemos dos proposiciones \[p=voy\, a \, la \, fiesta \, con \, Juan\] \[q=voy\, a \, la \, fiesta \, con \, María\] pero vas a ir con ambos, tienes que ir con los dos, entonces podrás decir: \[p\land q=voy\, a \, la \, fiesta \, con \, Juan \, y \, María\]

Eso es una conjunción, unir dos proposiciones mediante el conector y. Algo que se debe destacar, es que en la conjunción \(p\) y \(q\) deben ser verdad, en caso contrario toda la conjunción será falsa.

En el ejemplo, si tú vas a la fiesta con Juan y María, entonces \(p \land q\) sera verdad, pero si vas solo con uno de los dos, o no vas con ninguno, entonces \(p \land q\) sera falsa, como se puede observar en la tabla de verdad:

Recuerda que una conjunción es verdad solo cuando ambas proposiciones son verdaderas al mismo tiempo.

Disyunción

Continuando con el ejemplo anterior, supón que esta vez no dices que iras con Juan y con María, sino que dijiste “voy a la fiesta con Juan o con María”, ese detalle es importante, pues no es lo mismo decir y, a decir o, la y como ya vimos es una conjunción, la o es una disyunción, simbólicamente sería algo así: \[p\lor q=voy\, a \, la \, fiesta \, con \, Juan \, o \, María\] en este caso si vas con ambos, con uno o con el otro, la proposición será verdadera. Si no vas con ninguno, entonces la proposición será falsa. A continuación vemos la tabla de verdad de una disyunción.

Recuerda que una disyunción es verdadera cuando una de las dos proposiciones es verdadera.

Esta también es llamada disyunción inclusiva debido a que se incluyen ambas proposiciones; pero también podemos encontrar la disyunción exclusiva.

Disyunción exclusiva

Hay un caso especial de la disyunción; es la disyunción exclusiva, que se da cuando solo puede ser verdadera una de las proposiciones, pero no ambas. Continuando con el ejemplo de la fiesta, supón que dices “voy a la fiesta Juan ó con María”, pero pones mucho énfasis en la o, por eso la tilde, pues Juan y María se caen mal y no se pueden ver, entonces solo puedes ir con uno o con el otro. La tabla de verdad de una disyunción exclusiva se ve así:

Recuerda que una disyunción exclusiva es verdad cuando solo uno de las dos proposiciones es verdadera.

Condicional

Supón que quieres ir a cine y ver una película, una que te guste mucho, pero para ir al cine se requiere plata para pagar la entrada, las palomitas, la gaseosa, los transportes entre otros. Tu puedes decir “si me pagan, entonces voy al cine” y eso es una condición, dos proposiciones unidas por un conector condicional.

En lenguaje matemático podemos simbolizar cada condición con las letras \(p\) y \(q\) \[p=me \, pagan\] \[q=voy \, al\,cine\] Luego podemos unirlas usando el conector condicional (\(→\)), obteniendo: \[p\rightarrow q=si\,me \, pagan, \, entonces\, voy \,al\,cine\]

Ahora podemos ver la tabla de verdad, con los valores de las proposiciones simples \(p\), \(q\) y la proposición compuesta \(p→q\)

Las anteriores tablas de verdad no las explique una a una pues considere se entendían por si solas, eran sencillas, pero en este caso sí creo se debe explicar cada caso en la tabla.

En el primer caso, todas las proposiciones son verdaderas, esto se puede entender como: si me pagaron, si voy al cine y si se cumplió la condición “si me pagan, entonces voy al cine”. Hasta aquí todo normal.

Las dudas pueden llegar en el segundo caso donde se puede leer, si me pagaron, no fui al cine, entonces el condicional es falso, pues aunque me pagaron, no fui al cine.

El tercer caso también puede generar dudas, pues se entiende, no pagaron, fui al cine, y el condicional es verdadero. Aunque no haya recibido plata, termine yendo a cine, lo cual puede pasar, un amigo me pudo invitar, las entradas de cine fueron gratis un día y fui o algo por el estilo.

El cuarto y último caso se puede leer como no me pagaron, entonces no fui al cine, lo cual es verdadero, pues se necesita plata para ir al cine.

Recuerda que una proposición condicional es falsa cuando el antecedente (ósea \(p\)) es verdadero y el consecuente (ósea \(q\)) es falso.

Bicondicional

El último conector lógico que veremos es el bicondicional, también llamado doble implicación, es parecido al condicional, pero hacia ambos lados. Veamos un ejemplo; supón que vas mal en una materia y es posible que la pierdas, así que te pones a estudiar mucho para pasarla, entonces tienes las proposiciones \[p=voy \,a\,pasar\,la\, materia\] \[p=estudio \,mucho \] luego podemos unirlas usando el conector bicondicional (\(↔\)),obteniendo: \[p↔q=voy \,a\,pasar\,la\, materia\,si\,y\,solo\,si\,estudio \,mucho \]

Veamos la tabla de verdad y luego la explicación de cada caso.

El primer caso quiere decir que si estudiaste y si pasaste la materia, el bicondicional el verdadero.

En el segundo y tercer caso hiciste una de los, pero no ambas, lo cual es falso, tenías que estudiar para pasar la materia, entonces el bicondicional es falso.

En el último caso no estudiantes y no pasaste la materia, lo cual es verdad.

Recuerda que una proposición bicondicional es verdadera solo cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

Cursos y enlaces de interés

Este artículo fue algo muy introductorio, quizá no fue tan profundo como quisiera. Es posible que de pronto no hayas entendido bien algún tema o quieras profundizar más, por ello a continuación dejo algunos cursos y enlaces de interés sobre el tema.