Conceptos básicos e importantes en matemáticas

Una construcción siempre comienza por las bases; bueno, eso ocurre en la mayoría de los casos y cuando no se hace bien los puentes se caen. Hasta que no se encuentre otra forma de construir seguirá siendo así, comenzando por las bases. En las matemáticas ocurre un proceso parecido, primeros se deben establecer muchos conceptos básicos antes de ir a temas más complejos.

Durante el desarrollo de este escrito hay varios conceptos básicos, pero indispensables en las matemáticas. Estas son las bases para al edificio que será el conocimiento matemático que tú como estudiante o lector iras construyendo o remodelando.

Pese a que hay muchos conceptos que se pueden considerar básicos, solo abarcare tres que a mi manera de verlo son indispensables. También al final dejare una sección con varios conceptos importantes, pero solo dejare su definición, algo así como un glosario. Dividiendo el artículo por partes sería algo así:

• Abstracción y concepto abstracto
• Número
• Sistema de numeración
• Otros conceptos y definiciones varias

A medida que tú vayas leyendo y consultando sobre el tema, aprenderás más, igualmente iré publicando más artículos sobre matemáticas que podrás ir leyendo.

Abstraccion y concepto abstracto

Comencemos con un ejemplo. Supongamos que tenemos una vaca y la dibujamos tratando de ser lo más generales posible, sin incluir las particularidades que posea; como que tenga una pierna más desviada que otra, una mancha con forma extraña o que muja raro; después observamos que la vaca está particularmente gorda y ocupa mucho espacio. Entonces no puede caminar bien y choca con otros objetos. Nos damos cuenta que dos objetos no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo y así hemos descubierto el concepto de impenetrabilidad.

En ese pequeño ejemplo se realizó una abstracción donde se aisló una cualidad de la vaca y a través de ella se llega al concepto abstracto de impenetrabilidad.

Entonces resumiendo, abstracción es analizar una cualidad de uno o varios objetos y el concepto abstracto es el producto de una abstracción o en palabras de Aurelio Baldor:

“el proceso intelectual mediante el cual separamos mentalmente las cualidades particulares de varios objetos para fijarnos exclusivamente en uno o en varios atributos comunes a todos ellos, recibe el nombre de abstracción. El concepto que es resultado de una abstracción recibe el nombre de concepto abstracto”

Así como hay conceptos abstractos también hay conceptos concretos y cabe aclarar que no son lo mismo. Un concepto concreto se refiere a objetos que podemos observar con los sentidos, mientras que los conceptos abstractos surgen después de un razonamiento. En el ejemplo anterior la vaca es un concepto concreto y la impenetrabilidad es un concepto abstracto.

Número

El número es quizá uno de los conceptos más importante en matemáticas y en la ciencia en general; se originó principalmente por la necesidad del hombre de llevar las cuentas de las diferentes actividades que realizaba, se generaba una correspondencia entre un número y un objeto. Se cree que comenzó al igual que el origen del fuego.

Entonces un número es una forma de representar una cantidad o una magnitud, lo usamos a diario cuando usamos dinero para comprar comida, o cuando queremos expresar que tan lejos está un lugar diciendo que está a tantos kilómetros de nuestra ubicación.

Hay varias formas de representar un número; la más conocida es mediante los símbolos indo-arábigos, en la que el cinco se representa con el símbolo 5, pero hay otras formas y este mismo número se puede representar en el sistema de numeración romano como V o el sistema binario como 0101. La verdad existe casi una infinidad de formas de representar un número. A continuación mencionamos algunas de ellas:

• Símbolos indo-arábigos
• Sistema de numeración romano
• Sistema de numeración chino
• Sistema de numeración binario
• Forma escrita
• Con los dedos de las manos
• En la recta numérica
• Abaco
• Bloques multibase
• Regletas de cuisenaire

Sistema de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas, usado para expresar los números. Existen muchos sistemas de numeración, aunque en la actualidad hay cuatro se usan con bastante frecuencia: decimal, octal, hexadecimal y binario.

Sistema de numeración decimal

utiliza diez símbolos \({0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\).

Sistema de numeración octal

utiliza ocho símbolos. \({0,1,2,3,4,5,6,7}\)

Sistema de numeración hexadecimal

utiliza diez y seis símbolos. \({0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}\)

Sistema de numeración binario

utiliza dos símbolos. \( {0,1} \)

El sistema decimal supuso un gran avance en las matemáticas, antes de este se recurrían a otros sistemas para representar los números, pero cuando un número era muy grande su representación se hacía extensa; en el sistema romano el número 499 se representaba como CDXCIX, los números consecuentes son más largos.

Los sistemas octal, hexadecimal y binario son muy usados en informática, una de las razones principales es que los computadores trabajan con bytes y esta unidad de información se compone de ocho bits. Cuando se maneja un procesamiento superior se trabaja con múltiplos de ocho, en esos casos es más fácil usar el sistema de numeración hexadecimal. Por ultimo está el sistema binario que en el que trabajan las computadoras, pues constituye lo que se conoce como lenguaje maquina; es el más conocido por las personas gracias a películas como matriz, sus escenas con fondos verdes de unos y ceros.

Otros conceptos y definiciones varias

Otros conceptos importantes en los que se fundamenta las matemáticas son: postulado, teorema, colorario, lema, reciproco, escolio y problema. A continuación dejo un pequeño glosario con la definición de cada uno de ellos, algunas definiciones fueron tomadas del texto Aritmética de Aurelio Baldor (si, el mismo del algebra).

Postulado

es una verdad intuitiva que tiene suficiente evidencia para ser aceptada como tal Aurelio Baldor

Teorema

verdad no evidente, pero demostrable. Todo teorema debe tener unas hipótesis y una conclusión que debe ser demostrada.

Colorario

verdad que se deriva como consecuencia de un teorema Aurelio Baldor

Lema

teorema que es necesario para la demostración de otro teorema.

Reciproco

teorema en el cual su hipótesis y su conclusión es la conclusión y la hipótesis de otro, respectivamente.

Escolio

es una advertencia u observación sobre alguna cuestión matemática.

Problema

es una cuestión práctica en la que hay que determinar cantidades desconocidas llamadas incógnitas, por medio de sus relaciones con cantidades conocidas, llamadas datos del problema Aurelio Baldor